Darlunio cyfrannedd union a gwrthdro
Sut rydyn ni鈥檔 gwybod a yw graff yn cynrychioli cyfrannedd union neu wrthdro? Rydyn ni鈥檔 edrych ar nodweddion penodol o鈥檙 graff ac yn gwneud rhai cyfrifiadau prawf er mwyn ein helpu i benderfynu.
Edrycha ar y graff hwn:
Mae鈥檙 graff yn dangos bod y pellter a deithiwyd a鈥檙 amser a gymerwyd mewn cyfrannedd, ond sut rydyn ni鈥檔 gwybod hynny?
Sylwa fod y graff yn llinell syth sy鈥檔 cychwyn o鈥檙 tarddbwynt. Pan welwn ni hyn, rydyn ni'n gwybod bod y ddau beth sy鈥檔 cael eu mesur ar y graff mewn cyfrannedd union. Er hyn, edrycha鈥檔 ofalus ar y graddfeydd ar y graff - cymer ofal os nad ydyn nhw鈥檔 cychwyn yn (0,0) neu os nad ydyn nhw鈥檔 llinol.
Edrycha ar y gwerthoedd ar y ddwy echelin 鈥 pan fo echelin y pellter yn 4, mae echelin yr amser yn 2, pan fo echelin y pellter yn dangos 8, mae echelin yr amser yn dangos 4. Mae hyn yn golygu os bydd un o鈥檙 newidynnau鈥檔 dyblu mae鈥檙 newidyn arall yn dyblu hefyd - dyma鈥檙 prawf ar gyfer cyfrannedd. Os yw鈥檙 amod hwn yn wir a鈥檙 graff yn llinell syth, yna mae鈥檔 rhaid bod gennyn ni berthynas sydd mewn cyfrannedd union.
Mae yna ddiben arall i鈥檙 gwerthoedd ar yr echelinau gan eu bod yn ein galluogi i ganfod y cysonyn cyfrannol o鈥檙 graff, fel y gallwn ddisgrifio鈥檙 berthynas drwy ddefnyddio hafaliad. Edrycha ar werth yr amser pan fo鈥檙 pellter yn 40, dylet allu gweld ei fod yn 20. Golyga hyn mai鈥檙 cysonyn cyfrannol, sy鈥檔 cysylltu pellter ac amser, yw 40 梅 20 = 2.
袄(调辫别濒濒迟别谤皑鈭浆补尘蝉别谤皑袄)
Drwy gael gwared 芒鈥檙 arwydd cyfrannedd ac ychwanegu鈥檙 cysonyn cyfrannol, cawn:
\({pellter}={k}\times{amser}\)
Drwy ad-drefnu cawn:
\({k}=\frac{pellter}{amser}=\frac{40}{20}={2}\)
Felly, i orffen, gallwn ysgrifennu:
\({pellter}={2}\times{amser}\) neu \({p}={2a}\)
Os bydden ni eisiau sicrhau mai \({amser}\) yw testun yr hafaliad, byddai鈥檔 rhaid i ni rannu dwy ochr yr hafaliad 芒 2. Byddai hyn yn rhoi:
\({a}=\frac{p}{2}\)
Question
Pa rai o鈥檙 graffiau canlynol sy鈥檔 dangos cyfrannedd union? Gyda鈥檙 rhai sy鈥檔 dangos cyfrannedd union, cyfrifa鈥檙 cysonyn cyfrannol.
Mae Graff B yn dangos perthynas gyfrannol ond nid yw Graff A. Rydyn ni鈥檔 gwybod nad yw Graff A mewn cyfrannedd oherwydd, pan fo鈥檙 echelin-\({y}\) yn dangos 4, er enghraifft, mae鈥檙 echelin-\({x}\) yn dangos 0. Os rydyn ni鈥檔 dyblu 4 i gael 8 ar yr echelin-\({y}\), bydden ni鈥檔 disgwyl i werth yr echelin-\({x}\) ddyblu hefyd. Gan nad yw hyn yn wir, nid yw鈥檙 graff yn dangos perthynas gyfrannol.
Rydyn ni鈥檔 gwybod bod Graff B yn dangos perthynas gyfrannol oherwydd, os edrychwn ni ar y gwerth ar yr echelin-\({x}\) pan fo鈥檙 echelin-\({y}\) yn 75, gwelwn ei fod yn 50. Pan rydyn ni鈥檔 dyblu鈥檙 gwerth ar yr echelin-\({y}\) i gael 150 ac yn edrych am y gwerth cyfatebol ar yr echelin-\({x}\), gwelwn ei fod yn 100. Felly mae hwnnw wedi dyblu hefyd ac felly mae鈥檙 berthynas mewn cyfrannedd.
I ganfod y cysonyn cyfrannol, mae angen i ni rannu gwerth ar yr echelin-\({y}\) 芒 gwerth cyfatebol ar yr echelin-\({x}\): 300 梅 200 = 1.5
Gallwn felly ysgrifennu:
\({incwm}={1.5}\times{llyfrau~a~werthwyd}\)
Cyfrannedd gwrthdro
I adnabod cyfrannedd gwrthdro, mae arnon ni angen gwahanol set o reolau. Yn gyntaf, dylen ni nodi na all graffiau llinell syth ddangos perthynas wrthdro, felly rydyn ni鈥檔 chwilio am gromliniau.
Mae鈥檙 graff hwn yn dangos perthynas gyfrannol wrthdro, ond sut rydyn ni鈥檔 gwybod hynny? Y nodwedd fwyaf amlwg mewn cyfrannedd gwrthdro yw pan fo un newidyn yn dyblu, mae鈥檙 llall yn haneru. Gad i ni weld a yw hyn yn wir.
Pan fo echelin-\({y}\) y graff yn dangos 1, mae鈥檙 gwerth cyfatebol ar yr echelin-\({x}\) hefyd yn dangos 1. Os rydyn ni鈥檔 dyblu鈥檙 gwerth ar yr echelin-\({x}\) rydyn ni鈥檔 cael 2, ac mae hyn yn cyfateb i 0.5 ar yr echelin-\({y}\). Mae hyn yn cadarnhau bod y graff yn dangos cyfrannedd gwrthdro, gan fod un newidyn yn haneru wrth i鈥檙 llall ddyblu.
Drwy ysgrifennu hyn ar ffurf algebra, gallwn ddweud bod:
袄(调辫皑鈭漒蹿谤补肠调1皑调驳皑袄)
Drwy gael gwared 芒鈥檙 arwydd cyfrannedd ac ychwanegu cysonyn cyfrannol, cawn:
\({p}=\frac{k}{g}\)
A thrwy ad-drefnu i gael \({k}\):
\({k}={p}\times{g}\)
Gan ddefnyddio set o werthoedd cyfatebol o鈥檙 graff (rydyn ni wedi dewis defnyddio 2 a 0.5) cawn:
\({k}={0.5}\times{2}={1}\)
Felly鈥檙 cysonyn cyfrannol yw 1.
Yn olaf, gallwn ddweud bod:
\({p}=\frac{1}{g}\)